우리는 속도 속에서 살아간다. 세상에 움직이지 않는 것은 없다. 우리는 느끼지 못하지만 지구의 자전 속도는 시속 1660km, 공전 속도는 시속 10만7500km다. 뉴턴의 운동 법칙을 설명하는 도구로서 가속도 개념이 처음 발견되었고, 이를 수학적으로 표현하기 위해 미분 개념이 탄생하였다. 동시대 라이프니츠는 수학체계로서 미분을 발전시켰다. 누가 미적분학을 먼저 발견했느냐는 수학사의 재미있는 논쟁거리다.
위치함수에서 미분값은 각도함수와 같다. 그래서 미분함수를 도함수라고도 부른다. 중고교 수학시간에 모두 배운 개념이다. 미적분을 활용하여 난제를 푸는 학문을 미적분학이라고 부른다. 그러나 미적분학 자체를 엄밀하게 증명하는 학문을 해석학이라고 한다. 응용과학과 이론과학의 차이다.
과거에는 극한 등 설명하기 어려운 개념을 신적 존재에게 책임을 전가해 회피했다. 수학의 신 파스칼조차 유한한 수만 가지고 수학적 무한에 도달할 수 있다며 신에게 책임을 돌렸다. 19세기부터 보이지 않는 무한한 가상세계를 상상하면서 수학은 비약적으로 발전한다. 그러나 마치 피라미드의 저주처럼 초기 극한을 연구하던 캠도어나 괴델 같은 수학자들은 정신병을 얻어 불행하게 삶을 마감했다.
미적분학을 통해 인류는 곡선을 이해하기 시작했다. 고대 유클리드 기하학은 직선과 도형을 탐구했지만 직선은 자연스럽게 존재하지 않는 아이디어에 불과하다. 최근까지도 곡률반경 기울기 등 randomness가 심한 곡선은 해석할 수 없었다. 그러나 태양계 운동은 타원 운동일수록 현실 세계의 운동 궤적은 대부분 곡선이다.
미적분학을 통해 더 복잡한 곡선인 고차원 함수와 오일러 곡선 등을 계산하게 된다. 이제는 슈퍼컴퓨터까지 동원해 고차원 함수를 계산한다. 곡선에 대한 이해는 CG, 3D프린팅, CAD와 반도체 설계, 컴퓨터 모델링, 벡터 그래픽 등에 응용돼 상상의 세계를 현실화하게 된다. 미적분학이 없었다면 CG로 자연의 곡선을 따라할 수 없었을 것이다. 현재는 감자칩과 같은 쌍곡포물면 형태까지 슈퍼컴퓨터로 계산한다.이처럼 미분은 극한과 무한한 역사에서 탄생한 산물이다. 로켓 발사와 우주선, 기상 예측과 같은 거대한 프로젝트뿐만 아니라 차량 속도 측정, 딥러닝, 인공지능, 단층 촬영, 애니메이션, 경제 예측 등 일상의 많은 분야에 미분이 응용되고 있다.
스페이스X의 혁신은 로켓 제작 비용의 70%를 차지하는 1단 로켓 추진체를 목표 지점에 착륙시켜 재사용하는 것이다. 남은 연료로 추진되는 선형가속도와 질소가스로 조절하는 회전각속도 제어가 핵심인데 모두 미분방정식을 통해 계산된다. 최근 배송과 전투의 혁신인 드론도 비슷한 기술이 적용된다. 물론 고사양 CPU와 미분을 활용한 SW가 이 복잡한 연산을 실시간으로 수행한다.
세상 일은 어쩔 수 없는 모순적 딜레마에 빠지는 게 대부분이다. 물건을 싸게 팔려면 남는 게 없고 비싸게 팔려면 아무도 사지 않는다. 스마트폰을 너무 크면 들고 다니기 어렵지만 너무 작으면 글꼴이 보이지 않는다. 빠른 전투기를 만든다고 엔진을 강화하면 무게가 증가하고 오히려 속도가 느려진다. 비 올 때 천천히 걷는 게 비를 맞지 않을까? 아니면 뛰어서 빨리 가는게 좋을까?
이러한 딜레마에서 최적의 선택을 수학적으로 찾는 것이 최적화 optimization이며 미적분학이 적용된다. 최적화 기술은 최근 빅데이터를 활용해 인공지능 핵심 기술로 사용되고 있다. 인간 뇌구조와 비슷한 다층 신경망을 응용해 입력과 출력 중간에 있는 히든 레이어를 최적화한다. 히든 레이어는 node, transfer function, weight 등의 변수를 통해 인식, 비교, 분류, 탐색, 추론 등 복잡한 인공지능 연산을 수행한다.
전통적인 프로그래밍은 데이터와 규칙을 입력으로 주고 결과를 연산하는 것이었다. 하지만 딥러닝은 데이터와 결과를 주고 규칙을 추정하는 지도학습(supervised learning)이다. 화자가 원인으로 추정되는 데이터와 결과를 보고 상관관계를 추론하는 것과 같다. 알파고도 딥러닝으로 바둑을 배웠다. 인간의 뇌는 상황이 너무 복잡하면 규칙을 찾을 수 없게 된다. 하지만 인공지능은 복잡한 상황을 숨기고 레이어와 노드 수를 대폭 증가시키고 슈퍼컴퓨터로 연산해 최적화된 규칙을 만들어낼 수 있다.
이 같은 인공지능 연산 기술은 이미 수십 년 전부터 학계에 존재해 왔다. 하지만 2000년대 들어 CPU 연산능력이 임계점을 넘고 빅데이터가 급증하자 4차 산업혁명의 핵심으로 꽃을 피우고 있다. 처음에는 고양이 얼굴의 종류도 구분하지 못했지만 지금은 중국 인민 전체를 인식하는 수준까지 발전했다. 인공지능은 시스템퀀트를 활용한 투자전략이나 가격추정 모델로도 사용되고 있다. 최근에는 결과가 없는 상태에서도 규칙을 추정하는 비지도 학습(unsupervised learning)으로까지 발전하고 있다.
적분의 개념은 미분보다 훨씬 먼저 나온다. 아르키메데스 훨씬 전 고대 기하학에서는 이미 구분 구조법을 알고 있었다. 원과 삼각형 등 도형의 면적과 부피를 구하기 위해 필요했다. 나일강 유역의 토지 측량에 활용되며, 해론의 공식을 통해 후대에 알려져 있다. 아르키메데스 묘비에도 새겨져 있듯이 원추:구:원통 체적 비율은 1:2:3이다. 원통의 부피는 구의 1.5배이며, 구의 부피는 원뿔의 2배임을 고대 시대부터 알 수 있다.
독일 엑스레이는 1895년 엑스레이를 발견해 의료계에서 큰 혁신으로 활용된다. 이러한 단층 촬영을 통해 얻을 수 있는 2D 이미지를 활용하여 3D 정보를 얻을 수 있으며, 이때 적분이라는 개념이 동원된다. CT나 MRI 등으로 응용되고 있다. 작은 움직임을 모으면 큰 그림이 그려지고 이를 통해 변화의 축이 보인다.
과거 대학 시절 수많은 공업수학시험 문제 중 ‘푸리에 트랜스폼과 라플라스 트랜스폼의 차이를 설명하라’가 아마 가장 많았을 것이다. 화자도 생각난다. 프랑스 물리학자 푸리에는 열전도 문제를 해결하기 위해 푸리에 급수를 정의했다. 시계열로 진행되는 시간 함수를 주파수 기준으로 변화해 적분하는 것이 푸리에 트랜스폼이며 스펙트럼 분석이라고도 불린다.
1965년 – 알고리즘을 개선하고 고속 푸리에 트랜스폼이 개발되다. 고속 푸리에 트렌드 폼은 현대 영상 처리와 데이터 압축의 핵심 기술이 된다. 푸리에 트랜스폼이나 라플라스 트랜스폼을 풀기 위해 미분 방정식이 다시 동원된다. 현재 고속 푸리에 트렌드 폼은 회로설계, 스마트폰 신호처리, MRI, 양자역학 등 다양한 분야에서 응용되고 있다.미분을 한 단어로 표현하면 바로 변화다. 상태의 변화를 이해하려는 수학이 미분이다. 미분을 통해 세상의 변화라는 원인을 포착한다. 적분을 통해 작은 변화가 누적된 결과를 이해한다. 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 과거의 원인을 파악하여 미래를 예측할 수 있다.
화자는 톱다운 기술 투자자로서 수많은 상관관계를 추적하고 연구한다. 현재 발생한 이벤트를 미분하여 과거의 원인을 파악하고, 이렇게 쌓인 원인 데이터베이스를 적분하여 현재를 해석하고 미래를 예측하는 것이다. 수식이 없을 뿐 미적분학과 투자전략의 개념은 같다.
미적분에 기반한 과학적 성취는 화자가 시나리오 모델을 만들 때 가진 결정론적 세계관과 같다. 결정론적 세계관은 과거와 현재 상태에서 미래를 예측할 수 있다고 생각한다. 프랑스 천문학자 라플라스는 “우주의 모든 입자의 위치와 속도를 알면 우주의 미래를 예측할 수 있다”고 선언하기에 이른다. 물론 나중에 양자역학이 나오고 결정론도 그때그때 다릅니다~임을 알 수 있다.
화자는 수출 데이터를 분석할 때 수출량이 중요한 것이 아니라 수출 증감률이 중요하다고 많이 강조했다. 이는 전형적인 미분 개념이다. 변화를 보다 빠르게 감지할 수 있다. 이를 수학적으로 보다 정확하게 표현하기 위해서는 미분방정식을 사용해야 할 것이다. 물론 투자부터 자꾸 계산하려다 보면 소탐대실이 된다.
화자는 고등학교 시절 구분 구조법으로 미분의 초기 개념을 공부하고 인테그랄을 그리며 멋지게 미분 방정식을 푸는 데 재미를 느낀 것 같다. 하지만 대학에 들어가 공업수학에 나오는 편미분과 다차원 행렬 연산에서 멘탈 붕괴에 빠지면서 수학에 재미를 느끼지 못했던 것이 아닌가 싶다. 하지만 화자도 다양한 투자지표를 분석할 때 미분이라는 개념을 이미 부지화식 속에서 사용하고 있다는 게 아이러니다.
고등학생 때 배운 미분이 도대체 세상을 살아가는 데 무슨 도움이 되냐고 회식에서 많이 얘기했던 것 같다. 하지만 수식을 먼저 가르치는 한국 교육체계의 오류라고 생각한다. 모든 공부는 역사가 우선이다. 왜 그런 것들이 나올 수밖에 없고 나중에 어떤 영향을 미치고 어떻게 발전했는지가 중요하다. 아무런 도움이 되지 않는다고 생각한 미분뿐만 아니라 수학, 물리학, 화학 등은 우리도 모르게 일상 곳곳에 숨어 있다.
전체 맥락을 공부한 후 세부 수식을 풀어나가면 된다. 그러나 그들은 소수의 자연과학자나 수학자일 것이다. 화자를 포함해 많은 사람들은 일상에 수학과 과학이 얼마나 깊이 들어가 있는지 쉽고 재미있게 풀어나간다면 복잡한 수식은 없어도 된다고 생각한다. 어쨌든 이러한 세미 과학 책은 공익적인 면에서 매우 유용하다.
책의 마지막 섹션에서 미적분을 투자와 삶 등과 연결하려는 시도는 다소 오버라고 생각한다. 투자는 투자이고 자연과학은 자연과학일 뿐이다. 투자시장은 집단의 광기 등으로 언더슈트와 오버슈트가 속출한다. 투자나 집단행동 등을 대변하는 사회과학은 예외 상황이 절대 발생해서는 안 되는 미분 등 과학과 수학으로 설명할 수 없다.
증정받아 작성된 서평입니다.
화자
우리는 속도 속에서 살아간다. 세상에 움직이지 않는 것은 없다. 우리는 느끼지 못하지만 지구의 자전 속도는 시속 1660km, 공전 속도는 시속 10만7500km다. 뉴턴의 운동 법칙을 설명하는 도구로서 가속도 개념이 처음 발견되었고, 이를 수학적으로 표현하기 위해 미분 개념이 탄생하였다. 동시대 라이프니츠는 수학체계로서 미분을 발전시켰다. 누가 미적분학을 먼저 발견했느냐는 수학사의 재미있는 논쟁거리다.
위치함수에서 미분값은 각도함수와 같다. 그래서 미분함수를 도함수라고도 부른다. 중고교 수학시간에 모두 배운 개념이다. 미적분을 활용하여 난제를 푸는 학문을 미적분학이라고 부른다. 그러나 미적분학 자체를 엄밀하게 증명하는 학문을 해석학이라고 한다. 응용과학과 이론과학의 차이다.
과거에는 극한 등 설명하기 어려운 개념을 신적 존재에게 책임을 전가해 회피했다. 수학의 신 파스칼조차 유한한 수만 가지고 수학적 무한에 도달할 수 있다며 신에게 책임을 돌렸다. 19세기부터 보이지 않는 무한한 가상세계를 상상하면서 수학은 비약적으로 발전한다. 그러나 마치 피라미드의 저주처럼 초기 극한을 연구하던 캠도어나 괴델 같은 수학자들은 정신병을 얻어 불행하게 삶을 마감했다.
미적분학을 통해 인류는 곡선을 이해하기 시작했다. 고대 유클리드 기하학은 직선과 도형을 탐구했지만 직선은 자연스럽게 존재하지 않는 아이디어에 불과하다. 최근까지도 곡률반경 기울기 등 randomness가 심한 곡선은 해석할 수 없었다. 그러나 태양계 운동은 타원 운동일수록 현실 세계의 운동 궤적은 대부분 곡선이다.
미적분학을 통해 더 복잡한 곡선인 고차원 함수와 오일러 곡선 등을 계산하게 된다. 이제는 슈퍼컴퓨터까지 동원해 고차원 함수를 계산한다. 곡선에 대한 이해는 CG, 3D프린팅, CAD와 반도체 설계, 컴퓨터 모델링, 벡터 그래픽 등에 응용돼 상상의 세계를 현실화하게 된다. 미적분학이 없었다면 CG로 자연의 곡선을 따라할 수 없었을 것이다. 현재는 감자칩과 같은 쌍곡포물면 형태까지 슈퍼컴퓨터로 계산한다.이처럼 미분은 극한과 무한한 역사에서 탄생한 산물이다. 로켓 발사와 우주선, 기상 예측과 같은 거대한 프로젝트뿐만 아니라 차량 속도 측정, 딥러닝, 인공지능, 단층 촬영, 애니메이션, 경제 예측 등 일상의 많은 분야에 미분이 응용되고 있다.
스페이스X의 혁신은 로켓 제작 비용의 70%를 차지하는 1단 로켓 추진체를 목표 지점에 착륙시켜 재사용하는 것이다. 남은 연료로 추진되는 선형가속도와 질소가스로 조절하는 회전각속도 제어가 핵심인데 모두 미분방정식을 통해 계산된다. 최근 배송과 전투의 혁신인 드론도 비슷한 기술이 적용된다. 물론 고사양 CPU와 미분을 활용한 SW가 이 복잡한 연산을 실시간으로 수행한다.
세상 일은 어쩔 수 없는 모순적 딜레마에 빠지는 게 대부분이다. 물건을 싸게 팔려면 남는 게 없고 비싸게 팔려면 아무도 사지 않는다. 스마트폰을 너무 크면 들고 다니기 어렵지만 너무 작으면 글꼴이 보이지 않는다. 빠른 전투기를 만든다고 엔진을 강화하면 무게가 증가하고 오히려 속도가 느려진다. 비 올 때 천천히 걷는 게 비를 맞지 않을까? 아니면 뛰어서 빨리 가는게 좋을까?
이러한 딜레마에서 최적의 선택을 수학적으로 찾는 것이 최적화 optimization이며 미적분학이 적용된다. 최적화 기술은 최근 빅데이터를 활용해 인공지능 핵심 기술로 사용되고 있다. 인간 뇌구조와 비슷한 다층 신경망을 응용해 입력과 출력 중간에 있는 히든 레이어를 최적화한다. 히든 레이어는 node, transfer function, weight 등의 변수를 통해 인식, 비교, 분류, 탐색, 추론 등 복잡한 인공지능 연산을 수행한다.
전통적인 프로그래밍은 데이터와 규칙을 입력으로 주고 결과를 연산하는 것이었다. 하지만 딥러닝은 데이터와 결과를 주고 규칙을 추정하는 지도학습(supervised learning)이다. 화자가 원인으로 추정되는 데이터와 결과를 보고 상관관계를 추론하는 것과 같다. 알파고도 딥러닝으로 바둑을 배웠다. 인간의 뇌는 상황이 너무 복잡하면 규칙을 찾을 수 없게 된다. 하지만 인공지능은 복잡한 상황을 숨기고 레이어와 노드 수를 대폭 증가시키고 슈퍼컴퓨터로 연산해 최적화된 규칙을 만들어낼 수 있다.
이 같은 인공지능 연산 기술은 이미 수십 년 전부터 학계에 존재해 왔다. 하지만 2000년대 들어 CPU 연산능력이 임계점을 넘고 빅데이터가 급증하자 4차 산업혁명의 핵심으로 꽃을 피우고 있다. 처음에는 고양이 얼굴의 종류도 구분하지 못했지만 지금은 중국 인민 전체를 인식하는 수준까지 발전했다. 인공지능은 시스템퀀트를 활용한 투자전략이나 가격추정 모델로도 사용되고 있다. 최근에는 결과가 없는 상태에서도 규칙을 추정하는 비지도 학습(unsupervised learning)으로까지 발전하고 있다.
적분의 개념은 미분보다 훨씬 먼저 나온다. 아르키메데스 훨씬 전 고대 기하학에서는 이미 구분 구조법을 알고 있었다. 원과 삼각형 등 도형의 면적과 부피를 구하기 위해 필요했다. 나일강 유역의 토지 측량에 활용되며, 해론의 공식을 통해 후대에 알려져 있다. 아르키메데스 묘비에도 새겨져 있듯이 원추:구:원통 체적 비율은 1:2:3이다. 원통의 부피는 구의 1.5배이며, 구의 부피는 원뿔의 2배임을 고대 시대부터 알 수 있다.
독일 엑스레이는 1895년 엑스레이를 발견해 의료계에서 큰 혁신으로 활용된다. 이러한 단층 촬영을 통해 얻을 수 있는 2D 이미지를 활용하여 3D 정보를 얻을 수 있으며, 이때 적분이라는 개념이 동원된다. CT나 MRI 등으로 응용되고 있다. 작은 움직임을 모으면 큰 그림이 그려지고 이를 통해 변화의 축이 보인다.
과거 대학 시절 수많은 공업수학시험 문제 중 ‘푸리에 트랜스폼과 라플라스 트랜스폼의 차이를 설명하라’가 아마 가장 많았을 것이다. 화자도 생각난다. 프랑스 물리학자 푸리에는 열전도 문제를 해결하기 위해 푸리에 급수를 정의했다. 시계열로 진행되는 시간 함수를 주파수 기준으로 변화해 적분하는 것이 푸리에 트랜스폼이며 스펙트럼 분석이라고도 불린다.
1965년 – 알고리즘을 개선하고 고속 푸리에 트랜스폼이 개발되다. 고속 푸리에 트렌드 폼은 현대 영상 처리와 데이터 압축의 핵심 기술이 된다. 푸리에 트랜스폼이나 라플라스 트랜스폼을 풀기 위해 미분 방정식이 다시 동원된다. 현재 고속 푸리에 트렌드 폼은 회로설계, 스마트폰 신호처리, MRI, 양자역학 등 다양한 분야에서 응용되고 있다.미분을 한 단어로 표현하면 바로 변화다. 상태의 변화를 이해하려는 수학이 미분이다. 미분을 통해 세상의 변화라는 원인을 포착한다. 적분을 통해 작은 변화가 누적된 결과를 이해한다. 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 과거의 원인을 파악하여 미래를 예측할 수 있다.
화자는 톱다운 기술 투자자로서 수많은 상관관계를 추적하고 연구한다. 현재 발생한 이벤트를 미분하여 과거의 원인을 파악하고, 이렇게 쌓인 원인 데이터베이스를 적분하여 현재를 해석하고 미래를 예측하는 것이다. 수식이 없을 뿐 미적분학과 투자전략의 개념은 같다.
미적분에 기반한 과학적 성취는 화자가 시나리오 모델을 만들 때 가진 결정론적 세계관과 같다. 결정론적 세계관은 과거와 현재 상태에서 미래를 예측할 수 있다고 생각한다. 프랑스 천문학자 라플라스는 “우주의 모든 입자의 위치와 속도를 알면 우주의 미래를 예측할 수 있다”고 선언하기에 이른다. 물론 나중에 양자역학이 나오고 결정론도 그때그때 다릅니다~임을 알 수 있다.
화자는 수출 데이터를 분석할 때 수출량이 중요한 것이 아니라 수출 증감률이 중요하다고 많이 강조했다. 이는 전형적인 미분 개념이다. 변화를 보다 빠르게 감지할 수 있다. 이를 수학적으로 보다 정확하게 표현하기 위해서는 미분방정식을 사용해야 할 것이다. 물론 투자부터 자꾸 계산하려다 보면 소탐대실이 된다.
화자는 고등학교 시절 구분 구조법으로 미분의 초기 개념을 공부하고 인테그랄을 그리며 멋지게 미분 방정식을 푸는 데 재미를 느낀 것 같다. 하지만 대학에 들어가 공업수학에 나오는 편미분과 다차원 행렬 연산에서 멘탈 붕괴에 빠지면서 수학에 재미를 느끼지 못했던 것이 아닌가 싶다. 하지만 화자도 다양한 투자지표를 분석할 때 미분이라는 개념을 이미 부지화식 속에서 사용하고 있다는 게 아이러니다.
고등학생 때 배운 미분이 도대체 세상을 살아가는 데 무슨 도움이 되냐고 회식에서 많이 얘기했던 것 같다. 하지만 수식을 먼저 가르치는 한국 교육체계의 오류라고 생각한다. 모든 공부는 역사가 우선이다. 왜 그런 것들이 나올 수밖에 없고 나중에 어떤 영향을 미치고 어떻게 발전했는지가 중요하다. 아무런 도움이 되지 않는다고 생각한 미분뿐만 아니라 수학, 물리학, 화학 등은 우리도 모르게 일상 곳곳에 숨어 있다.
전체 맥락을 공부한 후 세부 수식을 풀어나가면 된다. 그러나 그들은 소수의 자연과학자나 수학자일 것이다. 화자를 포함해 많은 사람들은 일상에 수학과 과학이 얼마나 깊이 들어가 있는지 쉽고 재미있게 풀어나간다면 복잡한 수식은 없어도 된다고 생각한다. 어쨌든 이러한 세미 과학 책은 공익적인 면에서 매우 유용하다.
책의 마지막 섹션에서 미적분을 투자와 삶 등과 연결하려는 시도는 다소 오버라고 생각한다. 투자는 투자이고 자연과학은 자연과학일 뿐이다. 투자시장은 집단의 광기 등으로 언더슈트와 오버슈트가 속출한다. 투자나 집단행동 등을 대변하는 사회과학은 예외 상황이 절대 발생해서는 안 되는 미분 등 과학과 수학으로 설명할 수 없다.
증정받아 작성된 서평입니다.
화자